\documentclass[12pt, a4paper, oneside]{ctexart}
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\title{\vspace{-4cm}\textbf{河北师范大学数学分析真题}}
\author{宁鑫雨}
\date{\today}
\linespread{1.5}
\definecolor{shadecolor}{RGB}{241, 241, 255}
\newcounter{problemname}
\def\d{\mathrm{d}}
\newenvironment{problem}{\begin{shaded}\stepcounter{problemname}\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}. }}{\end{shaded}}
\newenvironment{solution}{\par\noindent\textbf{解答. }}{\par}
\newenvironment{note}{\par\noindent\textbf{题目\arabic{problemname}的注记. }}{\par}
\pagestyle{plain}
\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
\date{}
\section*{2011年高等代数}
\begin{problem}[本题20分]
    设$f(x)$是一个次数小于等于4的整系数多项式，且被$x^2-1$整除.求满足每项系数的绝对值均小于等于2的多项式$f(x)$的个数.
\end{problem}
\begin{solution}
设$f(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$，由于$x^{2}-1\Big|f\left(x\right)$，所以$f(1)=f(-1)=0$
由此可得$a_4+a_2+a_0=a_3+a_1=0$，于是$a_1$有5种选择，$a_3$随之确定；当$a_0$=2或-2时，$a_2$均有3种选择，$a_4$随之确定；
当$a_0$=1或-1时，$a_2$均有4种选择，$a_4$随之确定；当$a_0$=0时，$a_2$有5种选择，$a_4$随之确定.
于是，满足条件的多项式$f(x)$有95个.
\end{solution}

\begin{problem}[本题20分]
    设$A$是每行每列均含有一个1和3个零的4级方阵，
    1)求证:存在一个正整数$m$,使得$A^m=E$，这里$E$为单位矩阵;\\
    2)求使得所有这样的$A$均满足$A^k=E$的最小正整数$k$。
\end{problem}
\begin{solution}
证明: \\
1)设$S$是由所有每行每列均含有一个1和3个零的4级矩阵构成的集合，则集合$S$对矩阵的乘法封闭，即任意的$A,B\in S,AB\in S$.集合$S$含有24个元素。
由于集合$S$中元素个数有限，$A,A^2,\cdots\cdots$均为$S$中元素，因此，存在$i,j\in \mathbb{Z}$,$ i \textless j$使得$A^i=A^j$.由$A$可逆可得，$A^{j-i}=E$,即存在一个正整数$m$,使得$A^m=E$;\\
2)注意到互换矩阵$A$的$i$,$j$两行和$i$,$j$两列，不会改变使得$A^m=E$的$m$的值,因此若$A=(a_{ij})$中$a_{11}\neq1$,则不妨设$a_{12}=1$。
此时,若$a_{21}=1$,则$A$按前两行两列分块,是一个准对角矩阵;若$a_{21}=0$,则可将$A$的第二行中的1换到第三列,
此时,若$a_{31}=1$,则按前三行前三列分块,$A$为准对角矩阵，否则,$a_{34}=1$,$a_{41}=1$。总之，按此法对$A$进行变换，$A$总可以化为如下形式之一:
$$
E,
\left(
    \begin{matrix}
        1 &   &   &   \\ 
          &   & 1 &  \\ 
          &   &   & 1 \\ 
          & 1 &   &  
    \end{matrix}
\right),
\left(
    \begin{matrix}
        1 &   &   &   \\ 
          & 1 &   &  \\ 
          &   &   & 1 \\ 
          &   & 1 &  
    \end{matrix}
\right),
\left(
    \begin{matrix}
          & 1 &   &   \\ 
        1 &   &   &  \\ 
          &   &   & 1 \\ 
          &   & 1 &  
    \end{matrix}
\right),
\left(
    \begin{matrix}
          & 1 &   &   \\ 
          &   & 1 &  \\ 
          &   &   & 1 \\ 
        1 &   &   &  
    \end{matrix}
\right).
$$
通过计算，使得以上矩阵的幂为单位矩阵的最小正整数分别为1,3,2,2,4,因此, 12是使得所有这样的$A$均满足$A^k=E$的最小正整数。
\end{solution}

\begin{problem}[本题20分]
    设$A=\left(a_{i j}\right)$是一个$n$级矩阵，其元素均为整数,且满足每行每列均含有一个奇数，其余元素皆为偶数.证明：矩阵$A$是一个可逆矩阵。
\end{problem}
\begin{solution}
证明：\\令
$\stackrel{}
{\overline{a}=}
\left\{
    \begin{array}{ll}
        {\overline{{{1}}}} & {a\equiv 1\bmod2}\\ 
        {\overline{{{0}}}} & {a\equiv 0\bmod2}}
    \end{array}
\right.$
且$\stackrel{}
{\overline{a} \pm \overline{b}=}
\left\{
    \begin{array}{ll}
        {\overline{{{1}}}} & {\overline{a} \neq \overline{b}}\\ 
        {\overline{{{0}}}} & {\overline{a} = \overline{b}}
    \end{array}
\right.$
定义$\overline{A}=\overline{(a_{ij})}$,则$|\overline{{A}}|=\overline{{|A|}}$.
注意到$|\overline{{A}}|$是一个每行每列元素均含有一个$\overline{{{1}}}$，其余皆为$\overline{{{0}}}$，
因此，$|\overline{{A}}|=\overline{{{1}}}$，$|{{A}}|$为奇数，即$  |A| \neq 0$，$A$是一个可逆矩阵。
\end{solution}

\begin{problem}[本题20分]
    设$A$为$n$级方阵，证明：
    $$
    r(A)-r(A^2-A)=n-r(E-A)
    $$,
    这里$E$为单位矩阵，$r(A)$表示矩阵$A$的秩。
    \end{problem}
\begin{solution}
注意到初等变换不会改变矩阵的秩，
$$
\begin{pmatrix}
    A & 0 \\ 
    0 & E-A
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
    A &A \\ 
    0 & E-A
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
    A & A \\ 
    A & E
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
    A-A^2 & 0 \\ 
    A & E
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
    A-A^2 & 0 \\ 
    0 & E
\end{pmatrix}.
$$
由上式可得$r(A)+r(E-A)=n+r(A^2-A)$，得证.
\end{solution}

\begin{problem}[本题20分]
    1)设$A$为$n$级实对称矩阵，则存在实数$a$，使得$aE-A$为正定矩阵，这里$E$为单位矩阵.\\
    2)设$A$,$B$均为$n$级正定矩阵，$\lambda_{i},i=1,2,\cdots,n$为$A$的$n$个特征值，$\mu_{j},j=1,2,\cdots,n$为$B$的$n$个特征值。
    证明：若对于任意的$i,j$,均有$\lambda_{i} > \mu_{j}$,则$A-B$为正定矩阵。
\end{problem}
\begin{solution}\\
1)令$\lambda_{i},i=1,2,\cdots,n$为$A$的$n$个特征值，取实数$a$，满足$a$大于每一个$\lambda_{i}$，则实对称矩阵$aE-A$的特征值均大于零，因此$aE-A$是正当矩阵。\\
2)取实数$b$满足$\lambda_{i} > b > \mu_{j},i,j=1,2,\cdots,n$则$A-bE$,$bE-B$均为正定矩阵，因而两个正定矩阵之和$A-B$也是正定矩阵。
\end{solution}

\begin{problem}[本题25分]
    设$A$是数域$P$上一个秩为$r$的$m\times n$矩阵，$V=\left\{A X\big|X^{T}=X,X\in P^{n \times n}\right\}$，这里$X^{T}$表示矩阵$X$的转置，
    $P^{n \times n}$表示数域$P$上全体$n$级方阵的集合。试求线性空间$V$的维数。
\end{problem}
\begin{solution}\\
$A$是一个秩为$r$的$m\times n$矩阵，因此，存在$m$级可逆矩阵$P$和$n$级可逆矩阵$Q$，使得
$$
PAQ=
\left(
\begin{array}{l l}
    {{E_{r}}}&{{0}}\\ 
    {{0}}&{{0}}
\end{array}
\right).
$$
定义
$$
W=
\left\{
    P A X\left(Q^{-1}\right)^{T}
|
X^{T}=X,X\in P^{n \times n}
\right\}=
\left\{
    \left.
    \left(
        \begin{array}{l l}
            {{E_{r}}}&{{0}}\\ 
            {{0}}&{{0}}
        \end{array}
    \right) Y\right|
        Y^{T}=Y,Y\in P^{n \times n}
        \right\}
$$,
则$\sigma:A X\to P A X\left(Q^{-1}\right)^{T}={\left(\begin{array}{l l}{E_{r}}&{0}\\ {0}&{0}\end{array}\right)}Y$是线性空间$V$与$W$的一个同构映射，因此$\dim V=\dim W$\\
令$Y=(a_{ij})$,则
$\begin{pmatrix}
    E_r&0\\ 
    0&0
\end{pmatrix}Y=
\begin{pmatrix}
    A&B\\ 
    0&0
\end{pmatrix},$
其中$(AB)$为$Y$的前$r$行，因此对于任意的
$$
A(A^{T}=A)\in P^{r\times r},B\in P^{r\times(n-r)},\left(\begin{matrix}{A}&{B}\\ {0}&{0}\\ \end{matrix}\right)\in W
$$.
即$W$=
$\left\{
    \left.
    \left(\begin{matrix}{A}&{B}\\ {0}&{0}\\ \end{matrix}\right)
\right|
    A(A^{T}=A)\in P^{r\times r},B\in P^{r\times(n-r)}
\right\},$
于是$\displaystyle\dim V=\dim W=r(n-r)+\frac{r(r+1)}{2}=\frac{(2n-r+1) r}{2}$.
\end{solution}

\begin{problem}[本题25分]
    设$V$是复数域上的$n$维线性空间，$\sigma，\tau$ 是$V$的线性变换，且$\sigma \tau = \tau \sigma$，证明：\\
    1)如果$\lambda$是$\sigma$的一个特征值，那么$V_{\lambda}$是$\tau$的不变子空间，\\
    2)$\sigma$，$\tau$至少有一个公共的特征向量，\\
    3)若$\sigma$在基$\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\varepsilon_{n}$下的矩阵是一若尔当块，则$\tau$有惟一特征值.
\end{problem}
\begin{solution}\\
1)对于任意$\alpha\in V_{\lambda},\sigma\left(\alpha\right)=\lambda\alpha$.于是，$\sigma[\tau(\alpha)]=\tau\sigma(\alpha)=\lambda\tau(\alpha)$，
因此，$\tau(\alpha) \in V_{\lambda}$,即$V_{\lambda}$是$\tau$的不变子空间；\\
2)因为$V_{\lambda}$是$\tau$的不变子空间，不妨设$\alpha_{1},\cdots,\alpha_{r}$为$V_{\lambda}$的一组基，且
$$
\tau(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)=(\alpha_1,\cdots,\alpha_r)\c A
$$
令$k$是$r$级复矩阵$A$的一个特征值，$\eta$是属于特征值$k$的特征向量.那么$\beta=({\alpha}_{1},\cdots,\alpha_{r}) \eta \neq 0$满足$\tau(\beta)=k\beta$，
且$\beta \in V_{\lambda}$,因此$\beta$是$\sigma，\tau$的一个公共的特征向量。\\
3)由以上证明可知，$\tau$的任意特征子空间均含有$\sigma$的特征向量，若$\tau$有两个不同特征值$a$，$b$，则存在相应特征向量$\alpha,\beta$，
同时也是$\sigma$的特征向量。$\sigma$的若尔当标准型为若尔当块，因此$\sigma$的特征子空间是一维的，从而$\alpha,\beta$线性相关。
但$\alpha,\beta$ 属于$\tau$的不同特征值，因而线性无关，矛盾。
\end{solution}
\end{document}